Planche
I.
[page 4.]
CHAPITRE PREMIER.
Je diviſerai ce petit Traité de Géométrie en trois Sections. Dans la premiere, il s’agira de la Géométrie en général, des lignes, des angles, de la génération du cercle, du demi-cercle, & de son uſage.
Dans la ſeconde, je traiterai des ſurfaces, comme les triangles, les figures quarrées, les polygones ; des corps ſolides, comme les cubes, les priſmes, les pyramides, &c.
Dans la troiſiéme, je traiterai de la meſure des lignes, des ſurfaces, & des corps de quelque eſpece qu’ils ſoient relativement à la Menuiſerie.
Section Premiere.
La Géométrie eſt une ſcience qui a pour objet la mesure de l’étendue, que l’on connoît ſous trois dimenſions différentes : étendue en longueur ſans largeur ni profondeur, que l’on nomme Longimétrie, ou meſure des lignes.
Etendue en longueur & en largeur sans profondeur, nommée Planimétrie, ou meſure des plans ou ſurfaces.
Etendue en longueur, largeur & profondeur, nommée Stéréométrie, ou meſure des ſolides.
Il eſt de deux ſortes de points, le point phyſique, & le mathématique. Le point mathématique n’a aucune des trois dimenſions ci-deſſus, & eſt purement intellectuel.
Le point phyſique eſt celui que l’on fait sur le papier avec la plume ou le crayon, ou ſur le terrain avec la pointe d’un jalon. (Voyez la Figure 1 & 2.) Ce point, ainſi que l’autre, n’a aucune dimenſion déterminée, puiſqu’il n’eſt lui-même que le terme de la grandeur ; cependant on eſt obligé de lui donner une grandeur exiſtante pour le rendre ſensible aux yeux, comme le point mathématique l’eſt à notre eſprit.
La ligne conſidérée comme longueur ſans largeur ni épaiſſeur, peut, ainſi que le point, être mathématique ou phyſique, puiſqu’elle n’eſt qu’une continuité de points ſervants à déterminer la diſtance d’un lieu à un autre, ou les extrêmités d’une ſurface. (Voyez les Figures 3, 4, 5.)
Il eſt de trois ſortes de lignes, la droite, la courbe, & la mixte.
La droite eſt celle dont toutes les parties ſe ſuivent exactement les unes les autres, ſans s’écarter ni à droite ni à gauche, de ſorte qu’on puiſſe les enfiler toutes d’un ſeul coup d’œil, ainſi que la ligne ponctuée (Fig. 6), ou celle [page 5.] indiquée par des jalons (Figure 7.) ; en ſorte que cette ligne devient le plus court chemin pour aller d’un lieu à l’autre.
La ligne courbe eſt celle qui eſt formée par un trait de compas, comme la Fig. 8.
La ligne mixte enfin eſt celle qui eſt formée par les deux premieres enſemble, & par conſéquent qui participe des deux genres. (Voy. la Figure 9.)
Les lignes prennent encore différents noms, ſelon qu’elles ſont disposées. On les nomme horizontales ou de niveau, perpendiculaires ou d’àplomb, paralleles, diagonales, tangentes & ſécantes, &c.
La ligne horizontale eſt celle qui ſe préſente à notre vue, de maniere qu’une de ſes extrêmités ne ſoit pas plus haute ni plus baſſe que l’autre ; telle nous paroît l’extrêmité d’un baſſin plein d’eau, (ſuppoſé qu’il ſoit d’une forme quarrée & qu’il ſe présente droit à nous). Voyez la Figure 10.
La perpendiculaire eſt celle qui eſt repréſentée du haut en bas, de ſorte qu’elle ne penche d’aucun côté ; on ne peut mieux la définir que par la figure d’un plomb, lequel étant fixe par ſon propre poids, ne peut aſſurément s’écarter d’aucun côté. (Voyez la Figure 11).
Les lignes paralleles ſont celles dont tous les points de l’une ſont également diſtants de l’autre, de ſorte que quand on les prolongeroit à l’infini, elles ne ſe rencontreroient jamais. (Voyez la Figure 12). Deux circonférences de cercle peuvent auſſi être paralleles, pourvû toutefois qu’elles ayent un même centre.
La ligne diagonale eſt celle qui traverſe une figure quarrée d’un angle à l’autre. (Voyez la Figure 13).
La ligne tangente eſt celle qui touche un cercle en un ſeul point, de ſorte qu’elle eſt toujours perpendiculaire avec le rayon du même cercle, qui paſſe par le point de contact. (Voyez la Figure 14).
La ligne ſécante eſt celle qui, venant à rencontrer un cercle ou une autre ligne, la coupe dans ſa longueur en quelque point que ce soit. (Voyez la Fig. 14. cote A).
Le point a étant donné ſur la ligne ſur laquelle vous voulez élever une perpendiculaire, ouvrez le compas à volonté, & faites les deux ſections b, b, deſquels points & d’une ouverture de compas plus grande que la premiere, vous ferez deux autres ſections c, du milieu deſquelles, & par le point a, vous ferez passer une ligne qui ſera la perpendiculaire demandée. (Voyez la Figure 15).
Autre Maniere.
Lorsque le point milieu d’une ligne n’eſt pas donné, mais ſeulement les [page 6.] deux points d, e, au milieu deſquels on veut faire paſſer une perpendiculaire, prenez une ouverture de compas quelconque, & des deux points d, e, faites les ſections f, g, dessus & dessous la ligne horizontale ; puis faites paſſer une ligne par les points f, g, laquelle coupera la ligne d, e en deux parties égales, & ſera perpendiculaire à cette même ligne. (Voyez la Figure 16).
Le point h étant donné à l’extrêmité d’une ligne, ouvrez le compas à volonté ; des points h & i faites deux ſections en l ; puis du point i, & par le point l, vous ferez paſſer la ligne i m, que vous prolongerez juſqu’à ce que la diſtance l m ſoit égale à celle i l ; alors par les points h, m, vous ferez paſſer une ligne, laquelle ſera la perpendiculaire demandée. (Voyez la Fig. 17).
Autre Maniere.
La ligne étant bornée au point n, du point o pris à volonté au-deſſus de la ligne, décrivez l’arc de cercle p n q, puis du point q, où le cercle coupe la ligne, menez une ligne par le point o, juſqu’à ce qu’elle coupe l’arc de cercle au point p ; alors vous ferez paſſer une ligne par les points n p, laquelle ſera la perpendiculaire. (Voyez la Fig. 18).
Le point r étant donné, prenez les deux diſtances s, s, à volonté, (pourvû toutefois qu’elles ſoient égales) ; puis des deux points s, s, faites deux ſections, par le milieu deſquelles, & par le point r, paſſera la perpendiculaire. (Voyez la Figure 19).
Lorſqu’on veut élever une perpendiculaire ſur l’extrêmité d’une ligne circulaire, du point s qui eſt donné, prenez à volonté la diſtance s t, que vous porterez en u, par le moyen deſquels points vous éleverez la perpendiculaire t x ce qui étant fait, vous porterez encore une pareille diſtance t u de u en y, afin d’avoir une ſeconde perpendiculaire, laquelle venant à rencontrer la premiere perpendiculaire t x, vous donnera le centre de l’arc s t y, qu’il étoit néceſſaire de trouver pour avoir la perpendiculaire que l’on demandoit, par la raiſon que toute ligne perpendiculaire à un arc de cercle paſſe par ſon centre. (Voyez la Figure 20).
La ligne a b étant donnée, à laquelle vous voulez mener une parallele, prenez une ouverture de compas telle que vous le jugerez néceſſaire, & faites [page 7.] les deux arcs de cercle c, c, par les extrêmités deſquels vous ferez paſſer une ligne, laquelle ſera parallele à la ligne a b. (Voyez la Figure 21).
Autre Maniere.
Les points d, e, étant donnés, par leſquels on veut faire paſſer deux lignes paralleles, des deux points d, e, comme centres, faites les deux arcs de cercles e f & d g, puis vous ferez ſur ces mêmes arcs les deux ſections, f, g, de la diſtance que vous voudrez mettre entre vos deux lignes, que vous ferez paſſer par les points d, f, & g, e. (Voyez la Figure 22).
Un angle eſt l’inclinaiſon de deux lignes, leſquelles venant à ſe rencontrer, forment un point que l’on nomme point angulaire, ou ſommet de l’angle. Les angles prennent différents noms ſelon leurs différentes formes & ouvertures, leſquelles ſe meſurent par le moyen d’un demi-cercle.
Pour connoître le rapport qu’ont les angles avec le cercle, & le même cercle avec les angles, il faut ſuppoſer que ſur la ligne h i, ſoit attachée une régle au point c l, de ſorte qu’elle ſoit mobile ; & qu’au bout de la régle on attache une pointe : il eſt certain que la régle venant à le mouvoir ſur elle-même à droite & à gauche décrira une ligne courbe, dont tous les points ſeront également éloignés du point l. (Voyez la Figure 23). Si l’on continue à faire mouvoir la regle au-deſſous de la ligne h i, comme on a fait au-deſſus, on décrira un cercle entier, de maniere que le cercle eſt une figure plane enfermée par une ligne courbe nommée circonférence, dont tous les points ſont à une diſtance égale du point milieu que l’on nomme centre. (Voyez la Figure 24).
Il y a pluſieurs lignes dans un cercle : celle qui le traverſe & qui paſſe par le centre ; comme la ligne m m (Fig. 25), ſe nomme diametre ; celles qui paſſent au-deſſus ou au-deſſous du centre, comme les lignes n n & o o, ſe nomment cordes ; & celles qui ſont depuis le centre juſqu’à la circonférence, comme la ligne p q, ſe nomment rayons. La partie de la circonférence qui eſt compriſe entre une corde comme celle o o, ſe nomme arc de cercle. (Voyez la Fig. 25),
Pour la meſure des angles, il faut faire attention que la régle que j’ai ſuppoſé mobile dans la Fig. 23, en s’éloignant de la ligne h i pour venir du point h au point i, forme des angles plus ou moins ouverts, dont le ſommet eſt au point l, & qui ont une ouverture plus ou moins grande en rapport avec la demi-circonférence.
Pour avoir ce rapport juſte, on a imaginé un demi-cercle, qui eſt un inſtrument de Mathématique, fait de cuivre ou de corne tranſparente, ſur lequel on a décrit une demi-circonférence que l’on a diviſée en 180 parties égales, que l’on nomme degrés, de ſorte que le quart d’un cercle, qui eſt la moitié de la demi-circonférence, [page 8.] en contient 90, & par conſéquent le cercle entier 360. Voyez la Figure 27, où eſt deſſiné un demi-cercle, & où les nombres ſont doubles pour la plus grande intelligence.
On a choiſi le nombre 360, parce que c’eſt celui qui a le plus de diviſeurs, ce qui rend l’uſage de cet inſtrument plus facile.
Soit donné l’angle s t r dont on veut avoir l’ouverture ; prolongez un des côtés de l’angle, comme de s en u, ſur lequel vous poſerez le rapporteur, ayant ſoin que le centre de l’inſtrument ſoit juſte au ſommet de l’angle, dont le côté paſſera ſous la demi-circonférence, qui par ſa diviſion indiquera l’ouverture de l’angle. (Fig. 26).
Que les côtés d’un angle ſoient plus ou moins prolongés, ou que le demi-cercle ſoit plus ou moins grand, cela ne fait rien à l’ouverture de l’angle, ainſi qu’on peut le voir dans la Figure 28, où l’angle x y z a également 40 degrés d’ouverture dans deux quarts de cercle, dont un cependant a le double de la grandeur de l’autre.
Lorſque l’on n’a pas abſolument beſoin de la valeur d’un angle, & que l’on veut ſeulement en tracer un ſemblable à un autre, on ſe ſervira de la maniere ſuivante.
Du ſommet de l’angle donné, décrivez un arc de cercle à volonté, puis faites-en un ſemblable ſur la ligne ſur laquelle vous voulez élever un angle ; prenez avec un compas la grandeur de ce même arc que vous porterez ſur le ſecond, par lequel point & du ſommet, paſſera une ligne qui ſera le ſecond côté de l’angle demandé. (Figures 29 & 30).
Les angles ont différents noms par rapport à leurs ouvertures & à leurs formes.
Par rapport à leurs formes, on nomme Rectiligne celui qui eſt compoſé de deux lignes droites. (Figure 31).
Curviligne, celui qui eſt compoſé de deux lignes courbes. Fig 32.
Et Mixtiligne, celui qui eſt compoſé d’une ligne droite & d’une courbe. (Figure 33).
Par rapport à leurs ouvertures, on nomme angle rectangle ou droit celui qui a pour meſure un quart de cercle, ou 90 degrés. Fig. 34.
Angle aigu, ou acut-angle, celui qui a moins de 90 degrés. Fig. 35.
Et angle obtus, ou obtus-angle, celui qui a plus de 90 degrés. Fig. 36.
Le texte qui suit sert à TESTER les changements de manchettes.
Changement de Planche (II) dans le texte
Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Curabitur commodo, felis consequat hendrerit hendrerit, dui mauris mollis quam, at consectetur lacus sapien quis neque. Curabitur scelerisque sagittis ullamcorper. Ut varius id lectus non mollis. Cras ullamcorper hendrerit nulla, sed iaculis lacus vulputate vel. Phasellus sed velit elementum dolor hendrerit imperdiet. Maecenas molestie lectus ligula, quis fermentum urna dignissim sed. Quisque vel auctor nisl, id efficitur lacus. Vivamus laoreet nulla vitae scelerisque scelerisque. Etiam orci mi, consequat id tellus non, ultricies lobortis urna. Nulla facilisi.
Sed imperdiet, nisi a pulvinar bibendum, eros sem consectetur urna, id egestas mi lectus vehicula sapien. Integer porttitor dolor lacinia magna tempor, ac posuere risus tempor. Nam vitae velit aliquet, vehicula nunc non, maximus metus. Etiam convallis sapien et tristique fermentum. Proin sit amet lorem felis. Mauris in sem et massa fringilla tempor. Ut sem enim, placerat quis cursus vitae, mollis vel enim. Vestibulum consectetur accumsan consequat. Duis convallis augue in eros sollicitudin viverra.
Sed id fringilla leo, tristique dictum nulla. Mauris tincidunt massa ac massa dapibus, et feugiat sapien ultricies. Integer tempus nisi et convallis cursus. Mauris commodo nisl lectus, sit amet gravida nibh tempus et. Integer viverra, augue ac facilisis convallis, magna nisi mattis nibh, sed congue felis velit ut magna. Phasellus aliquam fermentum iaculis. Sed blandit magna quam, in mattis sem dignissim quis. Pellentesque luctus eros et varius interdum. Aenean luctus semper magna, eget lacinia nunc vehicula id. Ut ut mi sapien. Mauris et tempor est. Fusce et nunc ut ex lobortis consectetur.
Nulla facilisi. Suspendisse varius mi ac lacus ultricies pharetra. Curabitur sed tincidunt felis. Aenean iaculis pharetra dolor a elementum. Proin quis gravida magna, eu mollis justo. Aenean pharetra, quam at suscipit luctus, magna nisi vehicula arcu, vitae faucibus neque elit non dolor. Curabitur imperdiet ipsum augue, non faucibus libero pretium id. Pellentesque efficitur metus ut finibus dictum. Pellentesque ac aliquet ante. Nam scelerisque dui non sapien interdum faucibus. Vestibulum egestas pellentesque finibus. Vivamus convallis lorem odio, in tincidunt velit malesuada nec. Nunc tristique facilisis molestie.
Changement de Planche (III) dans le texte
Phasellus pharetra felis eget leo pretium, vitae viverra turpis consectetur. Suspendisse potenti. Fusce nulla magna, vulputate eget mattis vel, scelerisque vitae lacus. Phasellus malesuada blandit nulla sagittis elementum. Suspendisse nec risus in nisl venenatis fermentum sit amet a risus. Maecenas lacinia, ligula eu blandit ultrices, purus arcu posuere est, quis lobortis elit lorem vitae mi. Vivamus dolor leo, congue varius bibendum nec, ullamcorper vitae leo. Nulla pretium id mauris eu tincidunt. Morbi non felis est. Nullam a felis nec tellus sodales egestas. Ut enim risus, gravida in porttitor vitae, tincidunt vel felis. Fusce nulla ipsum, commodo condimentum rhoncus ac, pharetra ac diam.
Pellentesque nulla tellus, mollis vel diam ac, facilisis vestibulum odio. Nulla elementum molestie pharetra. Vivamus et aliquet enim. Praesent rhoncus nisl eget ipsum faucibus, id blandit arcu tempor. Ut accumsan sit amet purus a tempor. Vivamus blandit tellus eget ullamcorper lobortis. Morbi feugiat, sapien suscipit varius facilisis, elit sem auctor massa, vitae porta tortor dolor eget mi. Etiam quis leo ut felis feugiat tincidunt vitae ut sem. Nam sodales rutrum sapien, eget hendrerit purus dictum et. Praesent non massa sit amet elit dignissim commodo pulvinar tempor ipsum. Suspendisse venenatis sapien quis eros tincidunt, eget varius purus congue. Nunc vel ipsum fermentum, viverra lorem vitae, tincidunt dolor. Praesent venenatis diam tortor, id bibendum neque euismod non. Nulla facilisi. Aliquam mollis eleifend nibh, ut dignissim mi vehicula nec.
Vestibulum ante ipsum primis in faucibus orci luctus et ultrices posuere cubilia curae; Suspendisse ut suscipit lacus, varius egestas sem. Pellentesque tincidunt nibh quam, at facilisis turpis ultrices id. Phasellus et lorem eget lectus dictum dignissim. Suspendisse vel tristique nisi. Curabitur id lobortis sapien, eu imperdiet enim. Maecenas commodo est quis massa dapibus, at fermentum felis ullamcorper. Etiam cursus eros vel sem pharetra, sed fermentum nulla vulputate. Integer dictum accumsan laoreet.
Nullam vestibulum tristique suscipit. Etiam justo urna, cursus a lectus a, rhoncus gravida tellus. Quisque ut mi in arcu auctor varius. Maecenas vel nulla blandit, eleifend ligula quis, scelerisque ligula. Aliquam aliquet, urna bibendum fermentum dictum, mauris libero venenatis ex, vitae suscipit enim lectus ac eros. Fusce odio tellus, tristique et finibus quis, condimentum condimentum odio. Aliquam eu arcu pharetra, euismod odio nec, vulputate ligula.
Integer malesuada vitae est eget malesuada. Vivamus vel massa vulputate libero facilisis dignissim eget ut neque. Fusce pharetra erat eget tempus porta. Sed sed ullamcorper ex. Etiam auctor, sapien in auctor sodales, magna magna suscipit mauris, non egestas mauris tortor egestas nulla. Vivamus facilisis elit libero, ut bibendum eros aliquam ut. Duis id placerat orci, vitae feugiat eros. In ac nisi in dui ultricies pharetra in non leo. Duis sit amet cursus nibh, sed pellentesque augue. Integer blandit est erat, sed tincidunt augue efficitur eu. In vel nisl non sem lacinia feugiat ac sagittis libero. Aenean at libero aliquet, tristique est id, facilisis lectus. Nunc eget libero finibus, luctus tellus vitae, congue justo. Vestibulum at fermentum mauris, rutrum iaculis turpis.
Changement de Planche (94) dans le texte
Nam a nibh velit. Phasellus posuere at enim dignissim scelerisque. Nullam congue nec diam ut venenatis. Cras id tortor eget massa consequat gravida vel quis risus. Nam sed lobortis elit. Orci varius natoque penatibus et magnis dis parturient montes, nascetur ridiculus mus. Morbi luctus pellentesque ultricies. Fusce id erat at sapien eleifend ullamcorper.
Nulla ultrices ac urna sed rutrum. Integer risus erat, vehicula sed ex id, rhoncus ultricies nulla. Nulla scelerisque mattis tellus ac vulputate. Nam gravida lobortis quam eu malesuada. Sed ornare arcu purus, nec dapibus enim pharetra vel. Vestibulum id mi nec nibh auctor varius sed eu velit. Suspendisse orci dolor, ornare quis imperdiet id, maximus eu nisl. Donec a tellus pellentesque, accumsan dolor eget, pretium neque. Pellentesque maximus gravida lacus, non venenatis augue porttitor consequat. Ut laoreet tempus erat ut molestie.
Praesent vitae euismod eros. Morbi aliquet justo et turpis commodo, consectetur interdum tellus suscipit. Duis porta id orci a hendrerit. In vel pulvinar turpis, id ullamcorper lorem. Donec id maximus augue, in egestas libero. Nulla erat ex, viverra tristique faucibus non, cursus sit amet odio. Donec eu lectus bibendum, ultrices justo eget, gravida sapien. Integer hendrerit semper ipsum, at egestas nisi dignissim nec. Fusce at condimentum lectus. Proin lacinia pellentesque felis, et ultrices nulla ullamcorper id. Praesent nec metus tempor, maximus sapien a, laoreet sem. Nullam fermentum maximus augue, quis vulputate odio placerat non.
Pellentesque posuere nulla quis ante porta molestie. Praesent id lectus risus. Integer non elit libero. Integer tristique justo ut tortor varius pellentesque. Nam tempor, nisi in sagittis feugiat, neque arcu gravida sem, tempor viverra erat lorem sit amet mauris. Proin ultrices justo vel auctor vehicula. Aliquam erat volutpat. Praesent nec quam diam. Etiam augue turpis, dictum nec mauris et, maximus varius magna. Ut id odio a tortor mattis gravida sed et ante. Proin vitae sagittis mi. Cras fringilla sit amet velit eget bibendum. Cras eget arcu cursus dui molestie commodo.
Donec et mauris tincidunt, rutrum tortor ac, viverra turpis. Nullam dictum urna eget metus maximus, quis consectetur massa faucibus. Fusce posuere metus eget tellus vehicula, non euismod dui consectetur. In ullamcorper, lectus nec rhoncus tincidunt, nibh justo cursus sapien, consectetur ullamcorper ligula nisi et est. Pellentesque vestibulum sem elit, quis finibus nisi commodo id. Pellentesque feugiat ultrices tortor et mollis. In et feugiat nibh, eu ultrices quam. In placerat, sem sed dictum egestas, augue enim sagittis justo, non lacinia massa nisi vel nisl. Aliquam at luctus metus. Ut eu odio eget sem molestie mollis eget sit amet nisl. Donec imperdiet suscipit fermentum. Etiam sapien odio, tristique ut euismod ac, vestibulum ac sem.
